MODUL

BAHAN AJAR PEMBELAJARAN

UNTUK SISWA MTs. KELAS VIII

HUBUNGAN SUDUT PUSAT DAN SUDUT KELILING LINGKARAN

 

Kata Pengantar

Puji syukur kami panjatkan kepada Allah SWT, Tuhan Yang Maha Esa yang telah memberi hidayah, kekuatan, kesehatan, dan ketabahan kepada kami sehingga penyusunan modul materi sudut pusat, sudut keliling, panjang busur dan luas juring ini dapat diselesaikan.

Modul ini disusun dengan tujuan menyediakan materi pembelajaran matematika dalam menentukan sudut pusat, sudut keliling lingkaran beserta hubungannya. Selain itu juga untuk menyediakan materi menentukan panjnag busur dan luas juring lingkaran.

Untuk keperluan pengayaan dan evaluasi, setiap unit dilengkapi dengan latihan dan evaluasi setiap materi. Kegiatan-kegiatan belajar dikembangkan untuk menjadikan peserta didik secara aktif belajar Matematika melalui kegiatan memahami dan menjawab berbagai bentuk tipe soal latihan yang berkaitan dengan materi lingkaran khususnya bab sudut pusat dan sudut keliling lingkaran, panjang busur dan luas juring lingkaran.

Dalam pembelajaran, guru diharapkan bertindak sebagai fasilitator, pemberi umpan balik, dan pendorong peserta didik agar berani mengemukakan pendapat dan menyampaikan gagasan atau jawaban atas permasalahan yang diberikan.

Penyusunan modul ini terselesaikan atas dukungan dari berbagai pihak. Oleh karena itu, kami mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu terselesaikannya penyusunan modul ini. Walaupun kami telah menyusun modul ini dengan upaya yang sungguh-sungguh, karena berbagai keterbatasan kami, modul ini masih memiliki sejumlah kekurangan. Sehubungan dengan hal tersebut, kami mengharapkan masukan dari berbagai pihak untuk perbaikan lebih lanjut.

Juni, 2021

Penulis

DAFTAR ISI

Halaman Kata Pengantar …………………………………………………… 1

Halaman Daftar Isi …………………………………………………………. 2

BAB I	Pendahuluan ……………………………………………………	3
	Latar Belakang ……………………………………………	3
	Deskripsi Singkat …………………………………………	3
	Tujuan Pembelajaran …………………………………..	3
	Materi Pokok dan Sub Materi Pokok ….………………….. Petunjuk Penggunaan Modul ……………………………..	3 4
BAB II	Materi Pokok 1: Hubungan Sudut pusat dan sudut keliling lingkaran yang menghadap busur yang sama ..…………………	5
	Indikator Keberhasilan ……………………………………	5
	Uraian Materi ……………………………………………..	5
	Latihan ………………………………………………………	8
	Rangkuman ……………………………………………….	9
	Evaluasi Materi Pokok 1 ………………………………….	9
	Umpan Balik dan Tindak Lanjut ……………………….	10
BAB III	Penutup …………………………………………………………	11
	Evaluasi Kegiatan Belajar…………………………………	11
	Umpan Balik..……………………………………………..	12
	Tindak Lajut ……………………………………………….	13

Kunci Jawaban ………………………………………………………………. 14

Daftar Pustaka ……………………………………………………………….. 16

BAB I
PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Pernahkah kamu berkreasi ke Dunia Fantasi? Di tempat tersebut, kamu dapat
menikmati berbagai macam permainan yang unik dan menarik. Mulai dari halilintar, kora-kora,
sampai arung jeram. Salah satu permainan yang tidak boleh dilewatkan adalah bianglala.
Dalam permainan ini, kamu dapat melihat satu tempat dari ketinggian tertentu. Jika
diperhatikan secara seksama, bentuk dasar dari permainan ini adalah berupa lingkaran.
Tahukah kamu, apa yang dimaksud dengan lingkaran?

Setelah mempelajari bangun datar segitiga dan segiempat, kamu akan mempelajari
bangun datar yang lain, yaitu lingkaran. Pada bab ini kita akan mempelajari tentang sudut pusat
lingkaran, sudut keliling lingkaran, panjang busur lingkaran, luas juring lingkaran, dan
hubungan antara sudut pusat dengan sudut keliling.

B. Deskripsi Singkat

Sudut pusat lingkaran adalah sudut yang terbentuk antara dua tali busur yang berpotongan pada pusat lingkaran. Sudut keliling lingkaran adalah sudut yang terbentuk oleh dua tali busur yang berpotongan pada keliling lingkaran. Sudut pusat dan sudut keliling lingkaran yang menghadap busur yang sama, memiliki hubungan sudut pusat merupakan hasil dari dua kali sudut lingkaran.

Busur lingkaran adalah garis luar dari tembereng atau dapat disebut juga garis lengkung yang menghubungkan ujung-ujung tali busur. Juring lingkaran adalah luas daerah dalam lingkaran yang dibatasi oleh dua buah jari-jari lingkaran dan sebuah busur yang diapit oleh kedua jari-jari lingkaran tersebut.

C. Tujuan Pembelajaran

Setelah mempelajari modul ini, kalian diharapkan dapat menjelaskan perbedaan antara sudut pusat lingkaran dan sudut keliling lingkaran serta menentukan hubungannya. Kemudian kalian juga diharapkan mampu untuk menghitung panjang busur lingkaran serta luas juring lingkaran.

D. Materi Pokok Dan Sub Materi Pokok

1. Sudut pusat dan sudut keliling lingkaran

a. Menentukan besar sudut pusat lingkaran berdasarkan hubungan dengan sudut keliling yang menghadap busur yang sama.

b. Menentukan besar sudut keliling lingkaran berdasarkan hubungan dengan sudut pusat yang menghadap busur yang sama.

2. Busur dan Juring Lingkaran

a. Menentukan panjang busur lingkaran yang diketahui jari-jari lingkaran dan sudut pusat lingkarannya.

b. Menentukan panjang busur lingkaran yang diketahui panjang busur yang lain dan sudut pusat lingkarannya.

c. Menentukan luas juring lingkaran yang diketahui jari-jari dan sudut pusat lingkarannya.

d. Menentukan luas juring lingkaran yang luas juring yang lain dan sudut pusat lingkarannya.

E. Petunjuk Menggunakan Modul

Untuk mendapatkan hasil maksimal saat belajar menggunakan bahan ajar ini, maka disediakan beberapa petunjuk penggunaan bahan ajar antara lain:

• 1. Bacalah dan pahami dengan baik uraian materi yang disajikan pada masing-masing kegitan pembelajaran. Apabila terdapat materi yang kurang jelas segera tanyakan kepada guru.
  2. Kerjakan soal latihan dengan baik untuk melatih kemampuan penguasaan pengetahuan konseptual dan literasi lingkunganmu.
  3. Untuk kegiatan “Kegiatan Diskusi” yang berisi kegiatan praktik, perhatikan hal-hal “Keselamatan Kerja” yang berisi petunjuk melakukan praktikum. Jika ada kegiatan yang belum dipahami, tanyakan pada guru hingga jelas.
  4. Setelah selesai bersihkan dan kembalikan alat dan bahan ke tempatnya.

BAB II

MATERI POKOK 1

SUDUT PUSAT DAN SUDUT KELILING LINGKARAN

1. Indikator Keberhasilan

Setelah mempelajari Bab II ini, kalian diharapkan dapat mengitung besar sudut pusat dan sudut keliling lingkaran serta dapat menentukan hubungannya.

1. Uraian Materi

Setelah mempelajari Bab II ini, kalian diharapkan dapat menjelaskan perbedaan antara sudut pusat dan sudut keliling lingkaran beserta dengan hubungannya.

1. Lingkaran

Gambar-gambar benda berbentuk lingkaran di kehidupan sehari-hari.

Ban mobil, kaset (compact disk), jam dinding, uang logam seperti gambar di atas merupakan contoh-contoh benda yang memiliki bentuk dasar lingkaran. Lingkaran adalah himpunan semua titik pada bidang datar yang berjarak sama terhadap titik pusat. Jarak yang sama itu disebut jari-jari. Lingkaran adalah salah satu kurva tutup sederhana yang membagi bidang menjadi dua bagian, yaitu bagian dalam dan luar lingkaran. Nama lingkaran biasanya sesuai dengan nama titik pusatnya. Jarak yang tetap antara titik pada lingkaran dengan pusat lingkaran dinamakan jari-jari, biasanya disimbolkan huruf r. Dengan pemahaman tentang istilah-istilah tersebut siswa dapat memecahkan berbagai masalah yang terkait dengan lingkaran.

1. Memahami sudut pusat lingkaran

Sudut pusat lingkaran adalah sudut yang titik sudutnya merupakan titik pusat lingkaran. Sudut pusat sering disimbolkan (α,β,θ). Ciri-cirinya :

1. Terbentuk dari dua sinar garis (kaki sudut).
2. Kaki sudut berhimpat dengan jari-jari lingkaran.
3. Titik sudut berimpit dengan titik pusat lingkaran.

Dari ketiga gambar di atas dapat disimpulkan bahwa sudut AOC, sudut AOB, dan sudut KOL adalah sudut pusat lingkaran.

1. Memahami Sudut Keliling Lingkaran

Sudut keliling adalah sudut yang kaki sudutnya berimpit dengan tali busur, dan titik pusatnya berimpit dengan suatu titik pada lingkaran.

B

C

O

A

Pada gambar di atas sudut keliling ABC pada lingkaran O. Kaki-kaki sudut ABC (sinar BA dan sinar BC) memotong lingkaran di titik A san C. Dengan kata lain sudut keliling ABC menghadap busur AC. Dapat disimpulkan pada gambar kaki sudut AC dan BC berimpit dengan tali busur AC dan titik pusatnya berimpit dengan titik B.

1. Hubungan Sudut Pusat dan Sudut Keliling Menghadap Busur yang Sama.

Perhatikan gambar berikut!

Sudut RPQ adalah sudut keliling dan sudut ROQ adalah sudut pusat dengan menghadap busur yang sama, yaitu busur RQ. OQ, OP, dan OR adalah jari-jari lingkaran, OQ = OP = OR, sehingga segitiga OPR dan segitiga OPQ merupakan segitiga sama kaki, maka sudut PRO = sudut RPO, dan sudut PQO = sudut QP. Sudut ROS adalah sudut luar segitiga OPR, maka sudut ROS = sudut PRO + sudut RPO, dan sudut QOS adalah sudut luar segitiga OPQ, maka sudut QOS = sudut PQO + sudut QPO.

Sehingga dapat dinyatakan dalam bentuk berikut :

sudut ROQ = sudut ROS + sudut QOS

= (sudut PRO + sudut RPO) + (sudut PQO + sudut QPO)

= sudut RPO + sudut QPO

= 2 (sudut RPO + sudut QPO)

= 2 sudut RPQ

Maka dapat disimpulkan bahwa :

Jika sudut pusat dan sudut keliling suatu lingkaran menghadap busur yang sama, maka berlaku :

Sudut pusat = 2 × sudut keliling.

Sudut keliling = ¹ × sudut pusat.

2

Contoh Soal

Berdasarkan gambar di bawah ini, jika sudut BOC = 60ᵒ

1. Tunjukkanlah manakah yang merupakan sudut pusat lingkaran!
2. Tunjukkanlah manakah yang merupakan sudut keliling lingkaran!
3. Hitunglah besar sudut BAC!

Penyelesaian :

1. Sudut pusat lingkaran ditunjukkan oleh sudut BOC.
2. Sudut keliling lingkaran ditunjukkan oleh sudut BAC.
3. sudut BAC dan sudut BOC menghadap busur yang sama, yaitu busur BC, maka :

 

sudut BAC = × sudut BOC

= × 6Oᵒ = 3Oᵒ

Jadi, besar sudut BAC = 3Oᵒ

1. Latihan

1. Rangkuman

Jika sudut pusat dan sudut keliling suatu lingkaran menghadap busur yang sama, maka berlaku :

Sudut pusat = 2 × sudut keliling.

Sudut keliling = ¹ × sudut pusat.

2

1. Evaluasi Materi Pokok

Jawablah jawaban berikut ini dengan benar!

1. Sebuah lingkaran berpusat dititik T seperti gambar berikut. Tentukan besar sudut ATB!

1. Berdasarkan gambar di bawah, besar sudut DEF = (3x-15)° maka hitunglah nilai x dan besar sudut DOF!

1. Pada gambar di bawah, titik O merupakan titik pusat lingkaran, besar sudut ABD = 45°. Besar sudut ACD adalah …

1. Pada gambar di bawah ini, tentukan besar ∠DEF dan ∠EOF!

1. Pada gambar dibawah ini, AB adalah garis tengah (diameter) lingkaran. Berapakah besar ∠ABC?

1. Umpan Balik dan Tindak Lanjut

Setelah mendalami Bab II modul ini, diharapkan kalian dapat meningkatkan pemahaman dan pengetahuan tentang hubungan antara sudut pusat dan sudut keliling lingkaran yang menghadap busur yang sama secara tepat, sehingga akan lebih mudah memahami materi selanjutnya. Pemahaman tentang materi tersebut akan menjadi lebih sempurna bila kalian mengembangkan wawasan sendiri dengan mengambil contoh-contoh yang terdapat di sumber-sumber lain sesuai dengan apa yang diberikan secara teoretik oleh guru kalian. Pengembangan wawasan oleh masing-masing individu tentu saja tidak sama, bergantung pengalaman, kemampuan merangkum, dan menganalisis bahan materi itu sendiri.

BAB III

PENUTUP

1. Evaluasi Kegiatan Belajar

Untuk memantapkan pemahaman kalian terhadap materi di atas, coba kerjakan latihan Tes Formatif di bawah ini!

1. Perhatikan gambar lingkaran dengan pusat titik O berikut

Besar sudut ACB adalah….

A. 10°

B. 15°

C. 20°

D. 25°

1. Perhatikan gambar lingkaran berikut. Besar sudut RQP adalah 55° maka besar sudut ROP adalah….

A. 60°

B. 95°

C. 110°

D. 120°

1. Perhatikan gambar lingkaran berikut.

Nilai x adalah….

1. 14
2. 27
3. 54
4. 64
5. Perhatikan gambar lingkaran berikut.

Besar sudut RQP adalah 47° maka besar sudut ROP adalah…..

1. 69°
2. 94°
3. 114°
4. 124°
5. Sudut yang titik sudutnya merupakan titik pusat lingkaran adalah pengertian dari…..
6. Sudut Pusat Lingkaran
7. Sudut Keliling Lingkaran
8. Sudut Juring
9. Sudut Lancip
10. Umpan Balik

Materi evaluasi kegiatan belajar dalam modul Pendalaman Materi Hubungan Sudut Pusat Dan Sudut Keliling Lingkaran bagi siswa-siswi SMP/MTs kelas 8 semester genap disarikan dari khusus materi tersebut. Oleh sebab itu, kalian diharapkan telah benar-benar memahami seluruh materi tersebut dalam modul ini. Dikatakan bahwa kalian telah memahami materi ini apabila kalian telah mencapai nilai ≥ 80 sesuai dengan cara penghitungan nilai sebagai berikut:

Skor maksimal butir soal I. No. 1 s/d 5 = 5

Nilai maksimal = 100

Skor yang diperoleh

Nilai yang diperoleh = x bobot

Skor maksimal

Jumlah Skor yang diperoleh

Nilai yang diperoleh = x 100

Skor maksimal

 

5

Nilai maksimal = x 100 = 100

5

1. Tindak Lanjut

Harapan yang ditujukan kepada kalian sebagai peserta didik setelah mempelajari bahan ajar (modul) ini adalah dapat mengerjakan soal ujian baik ulangan harian maupun ujian akhir semester dengan benar. Dengan kunci jawaban tes yang terdapat pada modul ini, kemudian hitunglah jumlah jawaban kalian yang benar. Gunakan rumus yang sudah diberikan di atas untuk mengetahui tingkat penguasaan terhadap materi ini.

KUNCI JAWABAN EVALUASI MATERI

1. Sudut ATB adalah sudut pusat dan menghadap busur yang sama dengan sudut ACB (∠ACB adalah sudut keliling). Maka hubungan sudut ATB dan sudut ACB adalah:

∠ATB = 2 x ∠ACB

∠ATB = 2 x 60°

= 120°

1. Hubungan antara sudut DEF (sudut keliling) dan sudut DOF (sudut pusat) adalah:

∠DEF = 1/2  x ∠DOF Maka,

(3x-15)° = 1/2 × 120°

(3x-15)° = 60°

3x = 60° + 15°

3x = 75°

x = 75°/3

= 25°

jadi nilai x = 25°

Besar ∠DEF:

∠DEF = (3x-15)°

∠DEF = (3(25) – 15)° = 60°

1. dengan menggunakan sifat sudut keliling yang menghadap busur yang sama. Maka:

∠DFG = ∠DEG = 55°

∠EDF = ∠EGF = 35°

1. ∠DFE merupakan sudut keliling yang menghadap sebuah busur yang tali busurnya merupakan diameter lingkaran (garis DE). Sudut keliling seperti itu memiliki besar 90°.

a). Berdasarkan sifat segitiga yaitu jumlah ketiga sudutnya adalah 180°. Maka besar ∠DEF dapat ditentukan:

∠DFE + ∠EDF + ∠DEF = 180°

90° + 25° + ∠DEF = 180°

∠DEF = 180 – (90 + 25) = 65°

b) ∠EOF merupakan sudut pusat, maka:  ∠EOF = 2 ×∠EDF = 2 × 25° = 50°

1. Sudut keliling yang menghadap sebuah busur yang tali busurnya merupakan diameter lingkaran (garis AB) memiliki besar 90° (sudut tersebut adalah ∠ACB, sehingga besar ∠ACB = 90° ). Dan berdasarkan sifat segitiga yaitu jumlah ketiga sudutnya adalah 180°. Maka:

∠ABC + ∠ACB + ∠BAC = 180°

3x + 90° + 2x = 180°

5x = 180° – 90°

5x= 90°

x = 90°/5

= 18°

Jadi ∠ABC = 3x = 3(18) = 54°

KUNCI JAWABAN TES FORMATIF

• • 1. D
    2. C
    3. B
    4. B
    5. A

DAFTAR PUSTAKA

Agus, NA. (2007). Mudah Belajar Matematika. Jakarta : Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional.

Nuharin, D dan Wahyuni T. (2008). Matematika Konsep dan Aplikasinya. Jakarta : Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional.

https://mafia.mafiaol.com/2013/01/hubungan-sudut-pusat-panjang-busur-luas.html https://www.dosenmatematika.co.id/mengetahui-hubungan-sudut-pusat-panjang-busur-dan- luas-juring-pada-lingkaran/

https://idschool.net/smp/panjang-busur-luas-juring-dan-luas-tembereng/